REGLA DE TRES: SIMPLE Y COMPUESTA

R E G L A DE T R E S

La Regla de Tres es un problema que consiste en dadas varias cantidades conocidas y una desconocida, que pertenecen a diferentes magnitudes, determinar la cantidad desconocida.

Regla de Tres Simple.
Cuando son cuatro cantidades que pertenecen a dos magnitudes diferentes, puede ser Directa ó Inversa.

Regla de Tres Compuesta.
Cuando son más de cuatro cantidades que pertenecen a más de dos magnitudes diferentes.

Nota.

En la resolución:
* Se utilizan los criterios de Magnitudes Proporcionales.
* Para determinar si es directa o inversa: cuando sucede lo mismo es directa y cuando ocurre lo contrario es inversa.

P R O B L E M A S P R O P U E S T O S

1. Un grupo de obreros debía terminar la construcción de un puente en 24 días; pero demoraron un mes por trabajar 2 horas menos cada día. ¿Cuántos días más habrían demorado, de haber trabajado 4 horas diarias, pero con 50% más de eficiencia?
2. Para sembrar un terreno cuadrado de 30 metros de lado un agricultor cobra 900 soles. ¿Cuánto cobrará por sembrar otro terreno también cuadrado de 50 metros de lado?
3. Se contrataron 20 obreros para hacer cierta obra en 23 días; pero al cabo de 8 días de trabajo se retiraron 5 obreros; ¿En qué tiempo se terminará la obra?
4. Se pensó terminar una muralla en 45 días de ocho horas de trabajo diario, empleando 30 obreros; luego de 24 días de trabajo se pidió concluir la obra 12 días antes del plazo fijado. ¿Cuántos obreros más se necesitarán, si se aumentó en dos horas la jornada de trabajo?
5. Un animal atado a un poste mediante una cuerda de tres metros de largo consume en cinco días el pasto que esta a su alcance. ¿Cuántos días le demandará consumir el pasto que esta a su alcance si la cuerda tuviera el triple de la longitud inicial?
6. Un confeccionista dice que puede confeccionar un ciento de artículos en 12 días, si trabaja con cierto número de máquinas; pero, con 4 máquinas adicionales de doble eficiencia terminaría 4 días antes. ¿Cuántos días se emplearía para hacer las mismas confecciones con sólo tres máquinas de las de doble eficiencia?
7. Se contrata a 72 obreros para ejecutar una zanja de 25 metros de ancho, 40 metros de largo y 4 metros de profundidad, en 36 días, trabajando 9 horas por día. ¿Cuántos obreros más con el mismo rendimiento se deben contratar para construir otra zanja que tenga el doble de ancho, eldoble de largo y el triple de profundidad, trabajando 144 días y tres horas diarias por día?
8. En dos semanas se terminó un trabajo; al comienzo sólo 8 hombres hicieron el 30% de la obra, luego el resto se hizo con la ayuda de 4 obreros, 50% más eficientes. ¿Cuántos días trabajaron los ayudantes?
9. En un recipiente esférico de tres dm de diámetro se pueden almacenar 120 granos de maíz; si el recipiente tuviera el doble de diámetro, ¿que cantidad de granos de pueden almacenar?
10. Se contrató 18 personas para hacer en 24 días un canal de 840 m, luego de 6 días de trabajo se accidentaron 4 obreros, por lo cual se decide entonces no variar el plazo de entrega, ni contratar más obreros; solo se disminuirá la longitud del canal. ¿Cuánto se tendría que disminuir?
11. Un túnel de 8 metros de diámetro y 90 metros de largo puede ser terminado por 23 obreros en un mes, trabajando a razón de 8 horas diarias. Si el radio del túnel se disminuye en un metro y el trabajo diario se aumenta en una hora. ¿En qué tiempo se terminaría?
12. Juan Carlos cobra por pintar un cubo de madera S/. 24; ¿Cuánto cobrará por pintar otro cubo de la misma madera si se sabe que el volumen es ocho veces el volumen original?
13. Treintaicinco obreros pueden terminar una obra en 27 días. al cabo de 6 días de trabajo se les junta cierto número de obreros de otro grupo, de modo que en 15 días más terminan la obra. ¿Cuántos obreros eran del segundo grupo?
14. Don Francisco tiene tiene 420 ovejas y alimento para ellas durante 80 días. Luego de “n” días vende 70 ovejas de tal manera que ahora los alimentos duren 12 días más. Halle el valor de “n”.
15. La guarnición de un fuerte que está compuesta por 1 800 hombres consumiría los 5 000 kilogramos de trigo que tiene en 200 días. Después de 40 días se incorporan 600 hombres más con 2 000 kilogramos de trigo. ¿Para cuántos días tendrán trigo los hombres que forman ahora la guarnición?
16. Siete obreros cuya fuerza y actividad está representada por 9, hacen en 20 días de 11 horas de trabajo cada uno, una obra cuya dificultad es como 7. ¿Cuántos días de 10 horas de trabajo por día demorarán 12 obreros cuya actividad y fuerza es como 11, para hacer un trabajo igual a los 15 novenos del primero, si la dificultad de este trabajo es como 8.
17. Tres panaderos pueden elaborar 600 panes ó 200 biscochos, trabajando 8 horas diarias durante 5 días; ¿cuántas horas se demorarán cuatro panaderos para elaborar 500 panes y 500 biscochos?
18. En 4 horas una brigada de 12 bomberos pueden apagar 1/3 de un incendio. ¿Cuánto tiempo demorarán para apagar el resto del incendio, si recibieran la ayuda de 4 bomberos más?
19. El administrador de un banco dice que puede atender diariamente a todos los ahorristas en 6 horas si habilitara cierto número de ventanillas. Pero si habilita 4 ventanillas más, demorará una hora menos. ¿Cuánto tiempo demoraría en atender a los clientes de un día, si habilitara 10 ventanillas?
20. Se contrata a 15 hombres para que terminen una obra en 25 días trabajando 8 horas diarias. Al finalizar el quinto día se les ordenó que terminen la obra cinco días antes del plazo estipulado, para lo cual trabajan 10 horas por día; ¿cuántos obreros más tuvieron que contratar?
21. 32 soldados pueden construir una muralla de 80 metros de largo, 5 metros de altura y 0,4 metros de espesor en 5 días si trabajan 10 horas diarias. ¿Cuál será la longitud de una muralla que ha sido construida por 24 soldados que trabajaron 35 días más a razón de 8 horas diarias con un esfuerzo 25% mayor y en un clima que duplicaba la dificultad del trabajo; se sabe que esta muralla tiene 8 metros de altura y 0,3 metros de espesor?
22. Seis hombres pueden barrer la Av. Javier Prado en 11 días trabajando 5 horas por día. Si el rendimiento de la mitad de los hombres aumentara en 20%: ¿en cuántos días realizarían dicha limpieza?
23. Se contrata a 8 personas para que terminen una obra en 57 días; luego de 12 días de trabajo se contratan 4 personas más. ¿Cuántos días antes terminarán la obra?

RESPUESTAS:

1. 16
2. 2 500
3. 20
4. 26
5. 45 días
6. 32
7. 576
8. 8
9. 480
10. 140
11. 15 días
12. 96
13. 14
14. 20
15. 180
16. 20
17. 100 horas
18. 6 horas
19. 12
20. 1
21. 200 metros
22. 10 días
23. 15 días

RAZONES Y PROPORCIONES - SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS IGUALES

R A Z Ó N

A la comparación de dos cantidades se le conoce con el nombre de razón; una forma es mediante la resta y se denomina razón aritmética; y la otra es mediante el cociente y se llama razón geométrica.

A - B = R . . . . . . (Razón Aritmética)
A / B = r . . . . . .(Razón Geométrica)

Al primer término ”A” se le llama “antecedente“; y, al segundo término “B” "consecuente".

P R O P O R C I Ó N

Cuando dos razones aritméticas o geométricas se igualan , esa igualdad recibe el nombre de “Proporción“; por lo tanto existen dos tipos de proporción:

I. Proporción Aritmética (Equidiferencia):

A - B = C - D

II. Proporción Geométrica (Proporción):

A / B = C / D

En ambos casos la nomenclatura es la siguiente: ”A y C” antecedentes; “B y D” consecuentes; “A y D” extremos; “B y C” medios.

Las Proporciones pueden ser Discretas o Continuas; serán discretas cuando los cuatro términos son diferentes; y, continuas cuando los términos medios sean iguales.

En la proporción aritmética contínua el término medio e igual recibe el nombre de media aritmética o media diferencial de los extremos; y, en la proporción geométrica continua el término medio e igual se llama media geométrica o media proporcional de los extremos.

Siempre se cumple:
* En la proporción aritmética: “La suma de los extremos es igual a la suma de los medios”
* En la proporción geométrica: “El producto de los extremos es igual al producto de los medios”

Propiedades de la Proporción Geométrica

En toda proporción geométrica se cumple que:

1. Se puede escribir de ocho maneras diferentes.
2. La suma o diferencia de los primeros términos es a la suma o diferencia de los segundos como los antecedentes son entre sí, ó, como los consecuentes son entre sí.
3. La suma de los primeros términos es a su diferencia como la suma de los segundos es también a su diferencia.
4. La suma o diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes como cada antecedente es a su propio consecuente.
5. La suma de los antecedentes es a su diferencia como la suma de los consecuentes es también a su respectiva diferencia.
6. Si a todos los términos de una proporción se les eleva a un mismo exponente, o se les extrae la raíz de un mismo índice, el resultado sigue siendo una proporción.

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS IGUALES

Es la igualdad de más de dos razones geométricas; a los términos que se encuentran en la parte superior (numerador) se les llama antecedentes, y a los que se encuentran en la parte inferior (denominador) se les llama consecuentes.

Propiedades: (Para una serie de “n” razones geométricas iguales)

1. La suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como cada antecedente es a su propio consecuente.
2. El producto de los antecedentes es al producto de los consecuentes como cada antecedente es a su propio consecuente elevados a un exponente que indicará la cantidad de razones que intervienen en la serie.
3. La raíz enésima del producto de los antecedentes es a la raíz enésima del producto de los consecuentes como cada antecedente es a su propio consecuente.
4. La raíz enésima de la suma de los antecedentes elevados a la “n” es a la raíz enésima de la suma de los consecuentes elevados a la “n”, como cada antecedente es a su respectivo consecuente.

P R O B L E M A S P R O P U E S T O S

1. Dos números son entre sí como tres es a ocho, y la razón aritmética de ambos es 155; determine el valor del menor de los números.
2. La razón geométrica de dos números es 11/5 y la suma de ellos es 272; halle la suma de las cifras del menor de los números.
3. Dos cantidades se encuentran en la relación de cuatro a siete, si la diferencia de ellos es 39, ¿cuál es el producto de estas cantidades?
4. Si el producto de los cuatro términos de una proporción es 1 296, ¿cuál es el valor de media geométrica?
5. La suma de los cuatro términos de una proporción geométrica es 609; si cada uno de los tres últimos términos es los dos quintos de su respectivo precedente, determine el valor del primer antecedente.
6. En una proporción geométrica se cumple que la suma de los extremos es 50 y su diferencia es 40; ¿cuál es el valor de la media geométrica?
7. Dos razones geométricas iguales a 2 forman una proporción geométrica, cuya suma de extremos es 35, determine la media geométrica.
8. Se tiene una proporción geométrica contínua igual a 5, donde la suma de los términos extremos es 208. ¿Cuál es el valor de la media proporcional?
9. Los consecuentes de una serie de razones geométricas iguales son: 5; 8 y 11, la suma de sus antecedentes es 72; ¿cuál es el producto de sus antecedentes?
10. En una serie de razones geométricas iguales, los antecedentes son: 2; 5; 6 y 7 y la suma de los consecuentes es 80; halle la diferencia que existe entre el mayor y menor de los consecuentes.
11. El producto de las tres razones de una serie de razones geométricas iguales es 8; si el segundo consecuente es igual a seis; ¿cuál es el valor del segundo antecedente?
12. Los consecuentes de una serie de razones geométricas iguales son 4; 7 y 11; si el producto de los antedecentes es 8316; entonces, el mayor antecedente es:

RESPUESTAS:

1. 93
2. 13
3. 4 732
4. 6
5. 24
6. 15
7. 14
8. 40
9. 11 880
10. 20
11. 12
12. 33

TEORÍA DE CONJUNTOS

T E O R Í A D E C O N J U N T O S
P R O B L E M A S P R O P U E S T O S
1. Si A y B son dos conjuntos disjuntos, determine el cardinal de la intersección de A con B.
2. Si n(C) = 7 y n(D) = 4; y, además se sabe que son conjuntos disjuntos; entonces, el cardinal de la unión de C con D es:

3. Se tiene que de 2 180 personas: 20 consumen sólo el producto P; 40 consumen sólo el producto Q; 60 consumen sólo el producto R; el número de personas que consumen sólo P y Q es la mitad del número de personas que sólo consume un producto; el número de personas que sólo consume Q y R es igual al número de personas que consumen P. ¿Cuántas personas consumen sólo Q y R?

4. Santiago debe almorzar pollo o pescado (o ambos) en su almuerzo de cada día del mes de marzo. Si en su almuerzo durante 20 días hubo pollo y durante 25 días hubo pescado; entonces, el número de días que almorzó pollo y pescado es:
5. Si los elementos del conjunto A son: a+b; b+c; a+c; 6, y, n(A) = 1, determine el valor de: “a” al cuadrado más “b” al cubo más “c” a la cuarta.
6. En una encuesta se encontró que el número de personas que consumen los productos A, B y C es igual a: 1/6 de los que consumen sólo A; 1/5 de los que consumen sólo B; 1/4 de los que consumen sólo C; 1/2 de los que consumen A y B; 1/3 de los que consumen A y C; 1/4 de los que consumen B y C. Señale el número de personas que consumen sólo A y B, si el número de personas encuestadas fue 4 400.
7. El conjunto “M” tiene 480 subconjuntos más que el conjunto “Q”; si se sabe que n(Q) = 5; ¿cuál es el valor de n(M)?
8. Se tiene que de 8 700 personas, el número de personas que consume sólo M es: 1/5 de sólo N; 1/6 de sólo P; 1/9 de sólo N y P; 1/4 de sólo M y P e igual a los que consumen los tres productos. El número de sólo M y N es 1/3 de sólo N y P. ¿Cuántas personas consumen sólo N?
9. De un grupo de 63 alumnos, 38 no se matriculan en Cálculo I, 32 no se matriculan en Historia; 15 no se matriculan ni en Cálculo I ni en Historia. ¿Cuántos se matricularon en los dos cursos mencionados?
10. De 150 alumnos se sabe que: 49 no llevan el curso de Lenguaje y 53 no llevan el curso de Historia. Si 27 alumnos no llevan ninguno de los dos cursos; ¿cuántos llevan los dos cursos?
11. De un grupo de personas se conoce que: los 2/5 lee “El Comercio” y la quinta parte lee “Expreso”. Si los 3/4 de los que leen “Expreso” también leen “El Comercio” y 495 no leen ninguno de los dos periodicos, ¿cuántas personas tiene ese grupo?
12. De un salón de 100 alumnos: 20 hombres no tienen 17 ni 18 años; 10 mujeres tienen 17 años; 32 mujeres no tienen 17 años; 28 mujeres no tienen 18 años; ¿cuántos hombres tienen 17 ó 18 años?.
13. De un folleto que tiene un total de 102 problemas, se observa lo siguiente: 32 problemas son de Economía, 40 son de Trigonometría y 12 son de Economía y Trigonometría. ¿Cuántos problemas no son ni de Economía ni de Trigonometría?
14. De 72 asistentes a una fiesta, la relación entre hombres que saben bailar y mujeres que no saben bailar es de 5 a 2 y la relación entre hombres que no saben y mujeres que si saben hacerlo es 3 a 7. ¿Cuántas personas saben bailar?

RESPUESTAS:

1. 0
2. 11
3. 1 040
4. 14
5. 117
6. 200
7. 9
8. 1 500
9. 8
10. 75
11. 900
12. 38
13. 42
14. 5