RAZONES Y PROPORCIONES - SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS IGUALES

R A Z Ó N

A la comparación de dos cantidades se le conoce con el nombre de razón; una forma es mediante la resta y se denomina razón aritmética; y la otra es mediante el cociente y se llama razón geométrica.

A - B = R . . . . . . (Razón Aritmética)
A / B = r . . . . . .(Razón Geométrica)

Al primer término ”A” se le llama “antecedente“; y, al segundo término “B” "consecuente".

P R O P O R C I Ó N

Cuando dos razones aritméticas o geométricas se igualan , esa igualdad recibe el nombre de “Proporción“; por lo tanto existen dos tipos de proporción:

I. Proporción Aritmética (Equidiferencia):

A - B = C - D

II. Proporción Geométrica (Proporción):

A / B = C / D

En ambos casos la nomenclatura es la siguiente: ”A y C” antecedentes; “B y D” consecuentes; “A y D” extremos; “B y C” medios.

Las Proporciones pueden ser Discretas o Continuas; serán discretas cuando los cuatro términos son diferentes; y, continuas cuando los términos medios sean iguales.

En la proporción aritmética contínua el término medio e igual recibe el nombre de media aritmética o media diferencial de los extremos; y, en la proporción geométrica continua el término medio e igual se llama media geométrica o media proporcional de los extremos.

Siempre se cumple:
* En la proporción aritmética: “La suma de los extremos es igual a la suma de los medios”
* En la proporción geométrica: “El producto de los extremos es igual al producto de los medios”

Propiedades de la Proporción Geométrica

En toda proporción geométrica se cumple que:

1. Se puede escribir de ocho maneras diferentes.
2. La suma o diferencia de los primeros términos es a la suma o diferencia de los segundos como los antecedentes son entre sí, ó, como los consecuentes son entre sí.
3. La suma de los primeros términos es a su diferencia como la suma de los segundos es también a su diferencia.
4. La suma o diferencia de los antecedentes es a la suma o diferencia de los consecuentes como cada antecedente es a su propio consecuente.
5. La suma de los antecedentes es a su diferencia como la suma de los consecuentes es también a su respectiva diferencia.
6. Si a todos los términos de una proporción se les eleva a un mismo exponente, o se les extrae la raíz de un mismo índice, el resultado sigue siendo una proporción.

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS IGUALES

Es la igualdad de más de dos razones geométricas; a los términos que se encuentran en la parte superior (numerador) se les llama antecedentes, y a los que se encuentran en la parte inferior (denominador) se les llama consecuentes.

Propiedades: (Para una serie de “n” razones geométricas iguales)

1. La suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como cada antecedente es a su propio consecuente.
2. El producto de los antecedentes es al producto de los consecuentes como cada antecedente es a su propio consecuente elevados a un exponente que indicará la cantidad de razones que intervienen en la serie.
3. La raíz enésima del producto de los antecedentes es a la raíz enésima del producto de los consecuentes como cada antecedente es a su propio consecuente.
4. La raíz enésima de la suma de los antecedentes elevados a la “n” es a la raíz enésima de la suma de los consecuentes elevados a la “n”, como cada antecedente es a su respectivo consecuente.

P R O B L E M A S P R O P U E S T O S

1. Dos números son entre sí como tres es a ocho, y la razón aritmética de ambos es 155; determine el valor del menor de los números.
2. La razón geométrica de dos números es 11/5 y la suma de ellos es 272; halle la suma de las cifras del menor de los números.
3. Dos cantidades se encuentran en la relación de cuatro a siete, si la diferencia de ellos es 39, ¿cuál es el producto de estas cantidades?
4. Si el producto de los cuatro términos de una proporción es 1 296, ¿cuál es el valor de media geométrica?
5. La suma de los cuatro términos de una proporción geométrica es 609; si cada uno de los tres últimos términos es los dos quintos de su respectivo precedente, determine el valor del primer antecedente.
6. En una proporción geométrica se cumple que la suma de los extremos es 50 y su diferencia es 40; ¿cuál es el valor de la media geométrica?
7. Dos razones geométricas iguales a 2 forman una proporción geométrica, cuya suma de extremos es 35, determine la media geométrica.
8. Se tiene una proporción geométrica contínua igual a 5, donde la suma de los términos extremos es 208. ¿Cuál es el valor de la media proporcional?
9. Los consecuentes de una serie de razones geométricas iguales son: 5; 8 y 11, la suma de sus antecedentes es 72; ¿cuál es el producto de sus antecedentes?
10. En una serie de razones geométricas iguales, los antecedentes son: 2; 5; 6 y 7 y la suma de los consecuentes es 80; halle la diferencia que existe entre el mayor y menor de los consecuentes.
11. El producto de las tres razones de una serie de razones geométricas iguales es 8; si el segundo consecuente es igual a seis; ¿cuál es el valor del segundo antecedente?
12. Los consecuentes de una serie de razones geométricas iguales son 4; 7 y 11; si el producto de los antedecentes es 8316; entonces, el mayor antecedente es:

RESPUESTAS:

1. 93
2. 13
3. 4 732
4. 6
5. 24
6. 15
7. 14
8. 40
9. 11 880
10. 20
11. 12
12. 33